В высокоточных измерениях силы тяжести необходимо учитывать то, что мгновенное положение оси вращения Земли отличается от её принятого (среднего, нулевого) положения, относительно которого заданы и координаты пункта. Следовательно, для точек на поверхности Земли изменяется расстояние до оси вращения, а значит изменяется и центробежная сила. Для учёта этого в измеренное значение силы тяжести вводят поправку за движение полюса. Рассмотрим один из путей её получения.
Матрица движения полюсов
Согласно Конвенциям Международной службы вращения Земли (IERS Conventions 2010), преобразование из Международной земной системы координат (ITRS — International Terrestrial Reference System) в Земную промежуточную (или мгновенную) систему координат (TIRS — Terrestrial Intermediate Reference System) в момент времени \(t\) имеет вид
\begin{equation}
x_{TIRS} = W (t) x_{ITRS},
\end{equation}
где \(x_{TIRS}\) и \(x_{ITRS}\) — векторы координат в системах TIRS и ITRS,
\begin{equation}
W \left( t \right) = R_2 \left( -x_p \right) R_1 \left( -y_p \right)
\end{equation}
— матрица движения полюсов. Это матрица вращения, образованная двумя последовательными поворотами (против часовой стрелки): вокруг оси \(X\) на угол \(-y_p\) и вокруг оси \(Y\) на угол \(-x_p\). Эти повороты выражаются соответственно матрицами вращения
\begin{equation}
R_1 \left( -y_p \right) =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos{y_p} & \sin{y_p} \\
0 & -\sin{y_p} & \cos{y_p}
\end{bmatrix},\quad
R_2 \left( -x_p \right) =
\begin{bmatrix}
\cos{x_p} & 0 & -\sin{x_p} \\
0 & 1 & 0 \\
\sin{x_p} & 0 & \cos{x_p}
\end{bmatrix}.
\end{equation}
Замечание 1: Строго говоря, в Конвенциях есть еще одна матрица \( R_3(s’)\), однако поскольку она описывает вращение вокруг оси \( Z \), то это никак не будет сказываться на центробежной силе, поэтому эту часть можно опустить. В преобразованиях координат её учитывать нужно.
Замечание 2: Пользуясь терминами, принятыми в отечественной литературе, ITRS — это средняя гринвичская геоцентрическая система координат, TIRS — мгновенная гринвичская геоцентрическая система координат. Однако эта терминология, а особенно детальное её описание (полюс, начальный меридиан), как правило, уже не соответствует современному положению дел, но об этом, видимо должен быть отдельный пост.
Углы \(x_p\) и \(y_p\) называются координатами полюса, определением которых занимается Международная служба вращения Земли (IERS), откуда их и можно получить (вообще, конечно, этим занимается не только IERS, но она — наиболее надёжный и стабильный источник). Это очень маленькие величины, меньше 1″, а значит можно принять, что
\begin{align}
\sin{x_p} \approx x_p, \quad \cos{x_p} \approx 1, \quad x_p y_p \approx 0,\quad x_p^2 \approx 0,\\
\sin{y_p} \approx y_p, \quad \cos{y_p} \approx 1, \quad y_p x_p \approx 0,\quad y_p^2 \approx 0,
\end{align}
то есть здесь и далее мы будем пренебрегать квадратами координат полюса. С принятыми упрощениями матрица движения полюсов принимает свой обычный и знакомый вид:
\begin{equation}
W\left( t \right) = R_2 \left( -x_p \right) R_1 \left( -y_p \right) \approx
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -x_p \\
0 & 1 & 0 \\
x_p & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & y_p \\
0 & -y_p & 1
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -x_p \\
0 & 1 & y_p \\
x_p & -y_p & 1
\end{bmatrix}.
\end{equation}
Изменение силы тяжести, вызванное движением полюса
Центробежный потенциал имеет вид:
\begin{equation}
Q = \dfrac{1}{2} \omega^2 \left( x^2 + y^2 \right) = \dfrac{1}{2}\omega^2 l^2,
\end{equation}
где \(\omega\) — угловая скорость вращения Земли, \(l = \sqrt{x^2 + y^2}\) — расстояние до оси вращения. Теперь запишем центробежный потенциал в двух только что нами введённых системах ITRS и TIRS.
В геоцентрических (сферических) координатах \(r, \phi, \lambda\) (или \(r, \theta = 90^\circ-\phi, \lambda\)) в ITRS центробежный потенциал имеет вид
\begin{equation}
Q_{ITRS} = \dfrac{1}{2} \omega^2 r^2 \cos^2{\phi} = \dfrac{1}{2} \omega^2 r^2 \sin^2{\theta},
\end{equation}
а в TIRS в момент времени \( t\) мгновенный центробежный потенциал запишем так
\begin{equation}
Q_{TIRS} = \dfrac{1}{2} \omega^2 r^2 \cos^2{\phi_1} = \dfrac{1}{2} \omega^2 r^2
\sin^2{\theta_1},
\end{equation}
где \(\phi_1, \lambda_1\) — геоцентрические координаты в TIRS (очевидно, что \( r\) в обеих системах будет одинаковым). Тогда возмущающий потенциал, вызванный движением полюса, будет выражаться как разность центробежных потенциалов в TIRS и ITRS, то есть
\begin{equation}
V = Q_{TIRS} – Q_{ITRS} = \dfrac{1}{2}\omega^2 r^2 \left( \cos^2{\phi_1} – \cos^2{\phi} \right).
\end{equation}
Удобно этот потенциал выразить через координаты полюса \( x_p, y_p \) и избавиться от \(\phi_1\). В геоцентрических координатах преобразование из ITRS в TIRS легко записать в матричном виде:
\begin{equation}
\begin{bmatrix}
\cos\phi_1\cos\lambda_1 \\
\cos\phi_1\sin\lambda_1 \\
\sin\phi_1
\end{bmatrix} = W (t)
\begin{bmatrix}
\cos\phi\cos\lambda \\
\cos\phi\sin\lambda \\
\sin\phi
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -x_p \\
0 & 1 & y_p \\
x_p & -y_p & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\cos\phi\cos\lambda \\
\cos\phi\sin\lambda \\
\sin\phi
\end{bmatrix}.
\end{equation}
Из последней строки для синусов широты выводим
\begin{equation}
\sin\phi_1 = x_p \cos\phi\cos\lambda – y_p\cos\phi\sin\lambda + \sin\phi =
\sin\phi + \cos\phi \left( x_p\cos\lambda – y_p\sin\lambda \right).
\end{equation}
Возводя в квадрат левую и правую части, получаем
\begin{equation}
\sin^2\phi_1 =
\sin^2\phi + 2\cos\phi\sin\phi \left( x_p\cos\lambda – y_p\sin\lambda \right) +
\cos^2\phi\left( x_p\cos\lambda – y_p\sin\lambda \right)^2,
\end{equation}
но ранее мы условились, что будем пренебрегать квадратами координат полюса, поэтому
\begin{equation}
\sin^2\phi_1 \approx
\sin^2\phi + 2\cos\phi\sin\phi \left( x_p\cos\lambda – y_p\sin\lambda \right),
\end{equation}
откуда получаем разность квадратов косинусов широты
\begin{equation}
\cos^2\phi_1 – \cos^2\phi = \sin^2\phi – \sin^2\phi_1 =
– 2\cos\phi\sin\phi \left( x_p\cos\lambda – y_p\sin\lambda \right).
\end{equation}
Теперь совсем не трудно записать выражение для потенциала, вызванного движением полюса
\begin{equation}
V = – \dfrac{1}{2}\omega^2 r^2
\sin{2\phi} \left( x_p\cos\lambda – y_p\sin\lambda \right),
\end{equation}
где все геоцентрические координаты выражены в ITRS. Здесь полезно заметить, что потенциал \( V \), так же как и приливной потенциал, является разностным.
В сферическом приближении изменение силы тяжести, вызванное движением полюса, можно найти просто через радиальную производную
\begin{equation}
\Delta g = -\dfrac{\partial V}{\partial r} =
\omega^2 r \sin{2\phi} \left( x_p\cos\lambda – y_p\sin\lambda \right).
\end{equation}
Поправка же в измеренное значение силы тяжести будет с обратным знаком.
У последней формулы есть два недостатка. Во–первых, она выведена из предположения, что Земля является абсолютно твёрдой (и сферической). Это, конечно, не соответствует действительности. Земля при изменении центробежной силы будет деформироваться, тем самым вызывая ещё большие изменения силы тяжести. Во– вторых, как правило, при обработке измерений с гравиметра используют геодезические координаты, а не геоцентрические (сферические). В последнем случае достаточно просто учесть связь геоцентрических и геодезических координат.
Для устранения первого недостатка нужны довольно существенные изменения в теории, хотя конечный результат и будет очень похож на тот, что получился сейчас. В частности, изменение силы тяжести для упругой Земли можно получить, домножив предыдущее выражение на гравиметрический фактор \(\delta = 1.16\), тогда получим
\begin{equation}
\Delta g =
1.16 \times \omega^2 r \sin{2\phi} \left( x_p\cos\lambda – y_p\sin\lambda \right).
\end{equation}
Это рабочая формула, по которой на практике учитывают изменение силы тяжести, вызванное движением полюса.