Полное и подробное, насколько это возможно, решение уравнения Лапласа в сферических координатах, приводящее к шаровым и сферическим функциям. Всё самое интересное на, хоть и длинной, но одной странице. Много математики — много веселья!
Вывод уравнения Лапласа в сферических координатах через криволинейные координаты с использованием SymPy.
Несмотря на то, что решение уравнения Лапласа в сферических координатах рассмотрено в большом числе геодезической и не геодезической литературы, есть один момент, который, как правило, опускается как очевидный, а именно – решение радиальной части после разделения переменных. Как решается часть, зависимая только от \(r\) и откуда появляется постоянная \(n(n + 1)\)? Давайте разбираться.