Решение уравнения Лапласа в сферических координатах

Полное и подробное, насколько это возможно, решение уравнения Лапласа в сферических координатах, приводящее к шаровым и сферическим функциям. Всё самое интересное на, хоть и длинной, но одной странице. Много математики — много веселья!

Уравнение Лапласа в сферических координатах

Уравнение Лапласа в сферических координатах имеет вид

$$ \Delta f \left( r, \vartheta, \lambda \right) = \frac{\partial^{2} f}{\partial r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} f}{\partial \vartheta^{2}} + \frac{1}{r^{2} \tan{\vartheta}} \frac{\partial f}{\partial \vartheta} + \frac{1}{r^{2} \sin^{2}{\vartheta}} \frac{\partial^{2} f}{\partial \lambda^{2}} = 0, $$

где $ r, \vartheta = 90^\circ – \varphi, \lambda $ – радиус, полярное расстояние (дополнение широты $\varphi$ до $90^\circ$), долгота соответственно.

Решить уравнение Лапласа это значит найти конкретный вид гармонической функции $f \left( r, \vartheta, \lambda \right)$, удовлетворяющей ему.

Прежде, чем переходить к решению, заметим важное и полезное свойство уравнения Лапласа: оно линейно. Это означает, что если есть два решения этого уравнения $f_1$ и $f_2$, то есть

$$ \Delta f_1 = 0,\qquad \Delta f_2 = 0, $$

то их линейная комбинация

$$ f = \alpha f_1 + \beta f_2 $$

тоже является решением $\Delta f = 0$.

Разделение переменных

Будем искать решение уравнения Лапласа методом разделения переменных, суть которого в следующем. Представим искомую функцию $f$ трёх переменных $r, \vartheta, \lambda$ как произведение трёх других функций

\begin{equation*} f \left(r, \vartheta, \lambda \right) = R(r) \cdot \Theta \left( \vartheta \right) \cdot \Lambda \left( \lambda \right), \end{equation*}

каждая из которых теперь зависит только от одной переменной: $R$ есть функция только от $r$, $\Theta$ есть функция только от $\vartheta$, а $\Lambda$ есть функция только от $\lambda$. Стоит заметить, что не всякая система координат позволяет решить уравнение Лапласа методом разделения переменных, например этого нельзя сделать в геодезических координатах $H, B, L$.

Итак, делаем подстановку

$$ \Theta\Lambda\frac{d^{2} R}{d r^{2}} + \Theta\Lambda \frac{2}{r} \frac{d R }{d r} + \frac{R\Lambda}{r^{2}} \frac{d^{2} \Theta}{d \vartheta^{2}} + \frac{R\Lambda}{ r^{2} \tan{\left(\vartheta \right)}} \frac{d \Theta}{d \vartheta} + \dfrac{1}{\Lambda}\frac{R\Theta}{r^{2} \sin^{2}{\left(\vartheta \right)}} \frac{d^{2} \Lambda}{d \lambda^{2}} = 0. $$

Замечаем, что частные производные заменены на полные дифференциалы, поскольку функции $R, \Theta, \Lambda$ имеют только одну переменную. Разделим обе части уравнения на $R\Theta\Lambda$ и умножим на $r^2$:

$$ \dfrac{1}{R}\left[r^2\frac{d^{2} R}{d r^{2}} + 2 r \frac{d R }{d r}\right] + \dfrac{1}{\Theta}\left[ \frac{d^{2} \Theta}{d \vartheta^{2}} + \frac{1}{\tan{\left(\vartheta \right)}} \frac{d \Theta}{d \vartheta}\right]+ \dfrac{1}{\Lambda}\frac{1}{\sin^{2}{\left(\vartheta \right)}} \frac{d^{2} \Lambda}{d \lambda^{2}} = 0. $$

Первый член уравнения зависит только от $r$, а вся оставшаяся часть зависит только от угловых величин $\vartheta, \lambda$. Для того, чтобы равенство выполнялось необходимо, чтобы обе части равнялись некоторой постоянной $\alpha$:

$$ \dfrac{1}{R}\left[r^2 \frac{d^{2} R}{d r^{2}} + 2r \frac{d R }{d r}\right] = – \dfrac{1}{\Theta}\left[\frac{d^{2} \Theta}{d \vartheta^{2}} + \frac{1}{\tan{\left(\vartheta \right)}} \frac{d \Theta}{d \vartheta}\right]- \dfrac{1}{\Lambda}\frac{1}{\sin^{2}{\left(\vartheta \right)}} \frac{d^{2} \Lambda}{d \lambda^{2}} = \alpha. $$

Первое уравнение будем называть радиальной частью уравнения Лапласа, поскольку она зависит только от $r$. Оставшуюся часть умножим на $\sin^{2}{\left(\vartheta \right)}$ и запишем уравнение

$$ \dfrac{ \sin^{2}{\left(\vartheta \right)}}{\Theta}\left[
\frac{d^{2} \Theta}{d \vartheta^{2}} + \frac{1}{\tan{\left(\vartheta \right)}} \frac{d \Theta}{d \vartheta} – \alpha \Theta \sin^{2}{\left(\vartheta \right)} \right] + \dfrac{1}{\Lambda}\frac{d^{2} \Lambda}{d \lambda^{2}} = 0, $$

которое является угловой частью уравнения Лапласа и называется дифференциальным уравнением сферических функций, поскольку, как увидим позже, именно они будут его решением.

И снова становится очевидным, что для сохранения равенства в полученном уравнении необходимо, чтобы обе части равнялись некоторой постоянной $\beta$:

$$ \dfrac{ \sin^{2}{\left(\vartheta \right)}}{\Theta}\left[ \frac{1}{\Theta} \frac{d^{2} \Theta}{d \vartheta^{2}} + \frac{1}{\tan{\left(\vartheta \right)}} \frac{d \Theta}{d \vartheta} – \alpha \Theta \sin^{2}{\left(\vartheta \right)} \right] = – \dfrac{1}{\Lambda}\frac{d^{2}\Lambda}{d \lambda^{2}} = \beta $$

Таким образом, уравнение Лапласа, дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, разбивается на три обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка:

$$ \begin{align} r^2 \frac{d^{2} R}{d r^{2}} + 2 r \frac{d R }{d r} – \alpha R &= 0, \label{eq:radial} \tag{1}\\ \frac{1}{\Theta} \frac{d^{2} \Theta}{d \vartheta^{2}} + \frac{1}{ \tan{\left(\vartheta \right)}} \frac{d \Theta}{d \vartheta}- \alpha \Theta \sin^{2}{\left(\vartheta \right)}- \dfrac{\beta \Theta}{\sin{\vartheta}} &= 0, \label{eq:legendre} \tag{2} \\ \frac{d^{2}\Lambda}{d \lambda^{2}} + \beta \Lambda &= 0. \label{eq:harmonic} \tag{3} \end{align} $$ Нам требуется теперь решить каждое из уравнений в отдельности, а заодно и определить вид постоянных $\alpha$ и $\beta$.

Отметим, что угловая часть уравнения Лапласа $Y (\vartheta, \lambda) = \Theta (\vartheta) \Lambda (\lambda)$ зависит только от полярного расстояния $\vartheta$ и долготы $\lambda$, то есть явялется функцией, заданной на сфере, следовательно решение этой части должно быть периодическим: $\pi$ для широтной части и $2\pi$ для долготной части. Только при этих условиях функция $Y (\vartheta, \lambda)$ может быть однозначно заданной на сфере.

Уравнение гармонических колебаний

Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка вида

$$ \frac{d^{2}\Lambda}{d \lambda^{2}} + \beta \Lambda = 0 $$

называется уравнением гармонических (или свободных) колебаний.

Оно имеет два линейно независимых решения при $\beta > 0$

$$ \Lambda_1 = \cos{\lambda\sqrt{\beta}},\qquad \Lambda_2 = \sin{\lambda\sqrt{\beta}}, $$

что легко проверяется подстановкой.

Как уже было сказано выше, для того, чтобы функция $Y \left( \vartheta, \lambda \right)$ была однозначной на сфере, необходимо, чтобы функция $\Lambda$ имела период $2\pi$. Из последнего уравнения нетрудно установить, что такое возможно только при $\beta = m^2$, $m = 0, 1, 2, …$ Таким образом, решения уравнения гармонических колебаний принимают вид

$$ \Lambda_1 = \cos{m \lambda},\qquad \Lambda_2 = \sin{m \lambda}, $$

линейная комбинация которых

$$ \Lambda = С_1 \cos{m \lambda} + С_2 \sin{m \lambda}, $$

является общим решением дифференциального уравнения. Здесь $C_1$ и $C_2$ – произвольные константы.

Присоединённое уравнение Лежандра

Перепишем второе уравнение, подставив в него значение $\beta = m^2$:

$$ \frac{1}{\Theta} \frac{d^{2} \Theta}{d \vartheta^{2}} + \frac{1}{\tan{\left(\vartheta \right)}} \frac{d \Theta}{d \vartheta} – \alpha \Theta \sin^{2}{\left(\vartheta \right)} – \dfrac{m^2 \Theta}{\sin{\vartheta}} = 0 $$

Выполним подстановку

$$ t = \cos{\vartheta},\quad \Theta (\vartheta) = P (\cos{\vartheta}) = P (t), $$

откуда

$$ \begin{align*} \dfrac{d P }{d \vartheta} &= \dfrac{d P }{d t} \dfrac{d t }{d \vartheta} = – \dfrac{d P }{d t} \sin{\vartheta}, \\ \dfrac{d^2 P }{d^2 \vartheta} &= \dfrac{d}{d\vartheta}\left[- \dfrac{d P }{d t} \sin{\vartheta} \right] = \dfrac{d^2 P}{dt^2} \sin^2{\vartheta} – \dfrac{dP}{dt}\cos{\vartheta},\\ \sin^2{\vartheta} &= 1 – t^2. \end{align*} $$

И подставляя всё это, получим уравнение без тригонометрических функций в явном виде:

$$ \left( 1 – t^2 \right) \dfrac{d^2 P}{dt^2} – 2 t \dfrac{d P}{dt} + \left[ \alpha – \dfrac{m^2}{1 – t^2} \right] P = 0. $$

Сначала установим некоторые свойства решения этого уравнения.

1. Во-первых, поскольку $t = \cos{\vartheta}$, то $-1 \leq t \leq +1$. Таким образом, областью определения $P (t)$ является интервал $[-1, 1]$.
2. Во-вторых, поскольку $0 \leq \vartheta \leq \pi$ и $-1 \leq t \leq +1$, то по теорема Вейерштрасса функция $P (t)$ является ограниченной и должна принимать некоторые конечные значения на этом интервале:

$$ \left|P (-1)\right| < \infty, \quad \left|P (+1) \right| < \infty. $$

Единственное значение $\alpha$, при котором полученное нами уравнение будет иметь нетривиальное, то есть отличное от нуля, решение имеет вид: $\alpha = n (n + 1)$. Здесь $n = 0, 1, 2,…$, то есть целые положительные числа, причем $n \geq |m|$, что приводит нас к присоединённому или обобщённому уравнению Лежандра:

$$ \left( 1 – t^2 \right) \dfrac{d^2 P}{dt^2} – 2 t \dfrac{d P}{dt} + \left[ n (n + 1) – \dfrac{m^2}{1 – t^2} \right] P = 0. $$

Его решением являются присоединённые функции Лежандра первого рода $P_n^m (t)$. Слова "присоединённые" и "первого рода" мы будем в дальнейшем часто опускать, поскольку присоединённые функции Лежандра второго рода, обозначаемые $Q_n^m$, в теории шаровых и сферических функций не встречаются.

Число $n$ называют степенью присоединённой функции Лежандра, а число $m$ называют порядком присоединённой функции Лежандра. Например, запись $P_2^1 (t)$ означает присоединённую функцию Лежандра второй степени и первого порядка. Часто степень и порядок записывают в одну строку $P_{nm} (t)$ или $P_{n,m} (t)$. Кроме того, можно часто встретить обозначение $l$ для степени и/или $k$ для порядка, а также различные их комбинации.

Далее мы отдельно и подробно ещё будем говорить о функциях Лежандра, поэтому в их обсуждении здесь на этом остановимся. В конце лишь запишем, что нами было получено следующее решение:

\begin{equation} \Theta (\vartheta) = P_n^m (\cos{\vartheta}), \quad 0 \leq m \leq n, \quad \alpha_n = n (n + 1)\label{eq:legendre-solution} \tag{4} \end{equation}

Сферические функции

Пользуясь полученными нами решениями уравнения гармонических колебаний и присоединённого уравнения Лежандра, мы можем записать теперь решение дифференциального уравнения для сферических функций (или угловой части уравнения Лапласа) в виде:

$$ Y_n^m \left( \vartheta, \lambda \right) = P_n^m (\cos{\vartheta}) \cos{m \lambda} ,\qquad Y_n^m \left( \vartheta, \lambda \right) = P_n^m (\cos{\vartheta}) \sin{m \lambda} ,\qquad $$

Функции такого вида называют элементарными сферическими функциями степени $n$ и порядка $m$. Видно, что степень и порядок элементарной сферической функции определяется степенью и порядком присоединённой функции Лежандра.

Поскольку дифференциальное уравнение для сферических функций является линейным, то и линейная комбинация его решений также будет решением. Эту комбинацию можно записать как

$$ \begin{equation*} Y_n \left( \vartheta, \lambda \right) = \sum\limits_{m=0}^n (A_n^m \cos{m \lambda} + B_n^m \sin{m \lambda}) P_n^m (\cos{\vartheta}),\label{eq:sphharm} \tag{5} \end{equation*} $$

где $A_n^m$ и $B_n^m$ являются произвольными константами, которые ещё называют гармоническими коэффициентами или просто гармониками. Мы получили общее выражение для сферической функции степени $n$.

Уравнение Коши-Эйлера

Наконец, найдём решение радиальной части уравнения Лапласа. Запишем её снова:

\begin{equation*} r^2 \frac{d^2 R}{d r^2} + 2 r\frac{d R}{d r} – \alpha R = 0. \end{equation*}

Это уравнение Коши—Эйлера – линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. Будем искать решение в виде степенной функции $R = r^n$, тогда

\begin{equation*} \frac{d R}{d r} = nr^{n-1}, \quad \frac{d^2 R}{d r^2} = n(n-1) r^{n-2}. \end{equation*}

Подставляем в дифференциальное уравнение и после тривиальных преобразований, получаем

\begin{equation*} n(n – 1) r^n + 2nr^n – \alpha r^n = 0. \end{equation*}

Сокращаем на $r^n$, получаем характеристическое уравнение

\begin{equation*} n^2 + n – \alpha = 0, \end{equation*}

два корня которого легко находим из решения квадратного уравнения

\begin{equation} n_1 = -\frac{1}{2} + \sqrt{\alpha + \frac{1}{4}}, \qquad n_2 = -\frac{1}{2} – \sqrt{\alpha + \frac{1}{4}}, \end{equation}

откуда, возвращаясь к нашей подстановке $R = r^n$, получаем два линейно независимых решения

\begin{equation} R_1 = r^{-\frac{1}{2} + \sqrt{\alpha + \frac{1}{4}}},\quad R_2 = r^{-\frac{1}{2} – \sqrt{\alpha + \frac{1}{4}}}. \end{equation}

Теперь, пользуясь значением для $\alpha = n (n + 1)$, которое мы установили выше при рассмотрении присоединённого уравнения Лежандра, находим решения

\begin{equation*} R_1 = r^{n},\quad R_2 = r^{-n-1},\label{eq:radial-solution} \tag{6} \end{equation*}

линейная комбинация которых

\begin{equation*} R = C_1 r^{n} + C_2 r^{-n – 1}, \end{equation*}

по свойству линейных ОДУ второго порядка, является общим решением дифференциального уравнения. Здесь $C_1, C_2$ – произвольные постоянные.

Таким образом, мы получили решение радиальной (зависимой только от $r$) части уравнения Лапласа.

Шаровые функции

Итак, мы решили все обыкновенные дифференциальные уравнения, возникшие после разделения переменных в уравнении Лапласа в сферических координатах. Осталось найти окончательный вид решения. Напоминаю, что искали мы его в виде

\begin{equation*} f \left(r, \vartheta, \lambda \right) = R(r) \cdot \Theta \left( \vartheta \right) \cdot \Lambda \left( \lambda \right) = R(r) \cdot Y \left( \vartheta, \lambda \right). \end{equation*}

Подставляем сюда выражения \eqref{eq:radial-solution} для $R$ и получаем два решения вида

\begin{equation} f \left(r, \vartheta, \lambda \right) = r^{n} Y (\vartheta, \lambda),\quad f \left(r, \vartheta, \lambda \right) = r^{-n-1} Y (\vartheta, \lambda), \end{equation}

которые называются шаровыми функциями (solid spherical harmonics), а функции $Y (\vartheta, \lambda)$ – сферическими (spherical harmonics). Таким образом, последние два выражения устанавливают связь шаровых и сферических функций.

Используя общее выражение для сферической функции степени $n$ \eqref{eq:sphharm}, шаровые функции можно записать так

\begin{align*} f \left(r, \vartheta, \lambda \right) &= r^{n} \sum\limits_{m=0}^n (A_n^m \cos{m \lambda} + B_n^m \sin{m \lambda}) P_n^m (\cos{\vartheta}),\\ f \left(r, \vartheta, \lambda \right) &= \dfrac{1}{r^{n+1}} \sum\limits_{m=0}^n (A_n^m \cos{m \lambda} + B_n^m \sin{m \lambda}) P_n^m (\cos{\vartheta}). \end{align*}

Вспоминая свойство линейности, о котором мы упоминали в самом начале, можно записать общее решение уравнения Лапласа, как линейную комбинацию частных решений в виде ряда по степеням $n$:

\begin{align*} f \left(r, \vartheta, \lambda \right) &= \sum\limits_{n=0}^{\infty} r^{n} \sum\limits_{m=0}^n (A_n^m \cos{m \lambda} + B_n^m \sin{m \lambda}) P_n^m (\cos{\vartheta}),\\ f \left(r, \vartheta, \lambda \right) &= \sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{r^{n+1}} \sum\limits_{m=0}^n (A_n^m \cos{m \lambda} + B_n^m \sin{m \lambda}) P_n^m (\cos{\vartheta}). \end{align*}

Эти выражения называются рядами шаровых функций, а при $r = 1$ они обратятся в ряды сферических функций или ряды Лапласа.

Ряды шаровых функций и являются решением уравнения Лапласа в сферических координатах.

Для геодезии, изучающей внешнее гравитационное поле, куда более важными являются шаровые функции вида $f = r^{-n-1} Y_n (\vartheta, \lambda)$, через которые может быть выражен потенциал притяжения вне притягивающих масс, поскольку $r$ здесь, как и у потенциала притяжения стоит в знаменателе. Вообще говоря, любая гармоническая вне сферы функция $f_e$ ($e$, external) может быть разложена в ряд

$$ f_e = \sum\limits_{n=0}^{\infty} r^{-n-1} Y_n (\vartheta, \lambda) $$,

а любая гармоническая внутри сферы функция $f_i$ ($i$, internal) может быть разложена в ряд

$$ f_i = \sum\limits_{n=0}^{\infty} r^n Y_n (\vartheta, \lambda).$$