Продолжаем разбирать тему решения уравнения Лапласа в сферических координатах. В этот раз работаем с полиномами и присоединёнными функциями Лежандра, которые являются решением присоединённого уравнения Лежандра. Используем Python для графиков и вычислений.
Полное и подробное, насколько это возможно, решение уравнения Лапласа в сферических координатах, приводящее к шаровым и сферическим функциям. Всё самое интересное на, хоть и длинной, но одной странице. Много математики — много веселья!
Вывод уравнения Лапласа в сферических координатах через криволинейные координаты с использованием SymPy.
Изображение сферических функций достаточно полезно для изучения их свойств. Достаточно легко нарисовать сферические функции можно через библиотеку Matplotlib – де-факто стандарт для научных графиков на Python. Разберём, как это сделать.
В библиотеке для научных и технических расчетов SciPy для языка Python есть возможность работы со многими специальными функциями, в том числе и со сферическими, которые реализованы в scipy.special.sph_harm. Как использовать их в геодезии? Разбираемся в теории и вычислениях.
Несмотря на то, что решение уравнения Лапласа в сферических координатах рассмотрено в большом числе геодезической и не геодезической литературы, есть один момент, который, как правило, опускается как очевидный, а именно – решение радиальной части после разделения переменных. Как решается часть, зависимая только от \(r\) и откуда появляется постоянная \(n(n + 1)\)? Давайте разбираться.