Несмотря на то, что решение уравнения Лапласа в сферических координатах рассмотрено в большом числе геодезической и не геодезической литературы, есть один момент, который, как правило, опускается как очевидный, а именно – решение радиальной части после разделения переменных. Как решается часть, зависимая только от \(r\) и откуда появляется постоянная \(n(n + 1)\)? Давайте разбираться.
Уравнение Лапласа в сферических координатах имеет вид
\begin{equation}
\Delta V = \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial V}{\partial r} \right) +
\frac{1}{\sin{\theta}} \frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin{\theta} \frac{\partial V}{\partial \theta} \right) +
\frac{1}{\sin^2{\theta}}\frac{\partial^2 V}{\partial \lambda^2} = 0,
\end{equation}
где \( r, \theta = 90^\circ – \phi, \lambda \) – радиус, полярное расстояние (дополнение широты \(\phi\) до \(90^\circ\)), долгота соответственно.
Будем искать решение этого уравнения методом разделения переменных в виде
\begin{equation}
V \left(r, \theta, \lambda \right) = R(r) Y (\theta, \lambda),
\end{equation}
где \(R\) – функция только от \(r\), а \(Y\) – функция только от \(\theta\) и \(\lambda\). Подставляя это выражение в уравнение Лапласа и деля на \(RY\), получаем
\begin{equation}
\frac{1}{R}\left(r^2 \frac{d^2 R}{d r^2} + 2 r\frac{d R}{d r}\right) =
-\frac{1}{Y}\left( \cot{\theta}\frac{\partial Y}{\partial \theta} + \frac{\partial^2 Y}{\partial\theta^2} +
\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2 Y}{\partial\lambda^2} \right).
\end{equation}
Левая часть здесь зависит только от \(r\), а правая – только от \(\theta \) и \(\lambda\). Для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо, чтобы обе части были постоянны. Пусть левая часть равна некоторой постоянной \(k\), тогда
\begin{equation}
r^2 \frac{d^2 R}{d r^2} + 2 r\frac{d R}{d r} – kR = 0.
\end{equation}
Это уравнение Коши—Эйлера – линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. Решение его, как правило, опускается в литературе по сферическим функциям, видимо, предполагается достаточное знакомство читателя с темой обыкновенных дифференциальных уравнений. Исправим это для полноты изложения.
Будем искать решение в виде степенной функции \(R = r^n\), тогда
\begin{equation}
\frac{d R}{d r} = nr^{n-1}, \quad \frac{d^2 R}{d r^2} = n(n-1) r^{n-2}.
\end{equation}
Подставляем в дифференциальное уравнение и после тривиальных преобразований, получаем
\begin{equation}
n(n – 1) r^n + 2nr^n – k r^n = 0.
\end{equation}
Сокращаем на \(r^n\), получаем характеристическое уравнение
\begin{equation}
n^2 + n – k = 0,
\end{equation}
два корня которого легко находим из решения квадратного уравнения
\begin{equation}
n_1 = -\frac{1}{2} + \sqrt{k + \frac{1}{4}},\quad n_2 = -\frac{1}{2} – \sqrt{k + \frac{1}{4}},
\end{equation}
откуда, возвращаясь к нашей подстановке \(R = r^n\), получаем два линейно независимых решения
\begin{equation}
R_1 = r^{-\frac{1}{2} + \sqrt{k + \frac{1}{4}}},\quad R_2 = r^{-\frac{1}{2} – \sqrt{k + \frac{1}{4}}},
\end{equation}
линейная комбинация которых
\begin{equation}
R = C_1 r^{-\frac{1}{2} + \sqrt{k + \frac{1}{4}}} + C_2 r^{-\frac{1}{2} – \sqrt{k + \frac{1}{4}}},
\end{equation}
по свойству линейных ОДУ второго порядка, является общим решением дифференциального уравнения. Здесь \(C_1, C_2\) – произвольные постоянные.
Пусть постоянная \( k = n (n + 1) \), тогда общее решение упростится
\begin{equation}
R = C_1 r^{n} + C_2 r^{-n-1}.
\end{equation}
Почему мы выбрали именно такое значение для \(k\)? В действительности, сделано это лишь для того, чтобы решение правой, пока нам неизвестной, части уравнения Лапласа после разделения переменных свелось бы к решению хорошо известного обыкновенного дифференциального уравнения Лежандра.
Таким образом, мы получили решение радиальной (зависимой только от \(r\)) части уравнения Лапласа после разделения переменных. Теперь можем записать функции вида
\begin{equation}
V = r^{n} Y (\theta, \lambda),\quad V = r^{-n-1} Y (\theta, \lambda),
\end{equation}
которые называются шаровыми (solid spherical harmonics), а функции \(Y (\theta, \lambda)\) – сферическими (spherical harmonics). Куда делись коэффициенты \(C_1, C_2\)? Мы предположили, что их величины, как простые множители, полностью вошли в коэффициенты сферических функций \( Y (\theta, \lambda)\). Заметим, что в геодезии применяются только шаровые функции с целыми значениями \( n = 0,1,2,3,\dots\). Также заметим, что для линейного дифференциального уравнения сумма частных решений тоже является решением, поэтому
\begin{equation}
V = \sum\limits_{n=0}^{\infty}r^{n} Y_n (\theta, \lambda),\quad V = \sum\limits_{n=0}^{\infty} r^{-n-1} Y_n (\theta, \lambda).
\end{equation}
Дальнейшие выводы можно посмотреть в классической книге: Гофман-Велленгоф, Б., Мориц, Г., Физическая геодезия, 2007, М.: Изд-во МИИГАиК.